شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | بخش پذیری در Z](https://dl.my-dars.com/upload/image/02 (9)1728762482.jpg)
به بيان دقيق مفهوم (بخش پذيری) در اعداد صحيح توجه کنيد:
فرض کنید a و \(b \ne 0\) عددهایی صحیح باشند.
عدد a را بر b(بخش پذير) گوييم، هرگاه عدد صحيح k يافت شود كه \(a = bk\) در این صورت می نویسیم: \(b|a\)
برای نمونه
داریم: \(4| - 12\) ، زیرا عدد \( - 12\) را می توان به صورت \(4( - 3)\) نوشت.
عبارت \(b|a\) به صورت b عاد می کند a را يا b عدد a را می شمارد، خوانده می شود. (b یک شمارنده یا مقسوم علیه a است.)
تمام اعداد بر 1 و \( - 1\) بخش پذير هستند؛ يعنی همواره: \( \pm 1|a\)
زیرا
\(a = 1 \times a \to 1|a,a = - 1 \times ( - a) \to - 1|a\)
تمام اعداد صحيح، عدد صفر را عاد می کنند، زيرا \(0 = a \times 0\) به عبارت دیگر؛ صفر تنها عددی است که بر تمام اعداد بخش پذير است، يعنی همواره، \(a|0\) .
هيچ عددی بر صفر بخش پذير نيست. ولی چون تساوی \(0 = 0 \times k\) برای هر عدد صحیح k برقرار است، خواهیم داشت \(0|0\) بنابراین:
\(0|a \Rightarrow a = 0\)
يعنی عدد صفر فقط خودش را عاد می کند.
هر عددی بر خودش بخش پذير است؛ زيرا:
\(a = a \times 1 \Rightarrow a|a\)
به صورت مشابه، موارد \(a| - a\) و \( - a|a\) نيز درست هستند. يعنی \( \pm a| \pm a\)
مثال
1 نشان می دهيم برای هر عدد طبيعی n داريم:
\(a|{a^n}\)
در حالت \(n = 1\) ، رابطه ی بدیهی \(a|a\) را داريم که درست است. اگر \(n\rangle 1\) باشد، در این صورت:
\({a^n} = a \times {a^n} - 1 \to {a^n} = ak \Rightarrow a|{a^n}\)
2 نشان می دهيم اگر \(a|b\) ، آنگاه برای هر عدد طبیعی n داریم:
\({a^n}|{b^n}\)
حالت \(n = 1\) بدیهی است. اگر \(n\rangle 1\) باشد، چون \(b = ak\) است، در این صورت:
\(bn = {\left( {ak} \right)^n} = {a^n} \times {k^n} \to {k^n} = k' \to {b^n} = {a^n}k' \Rightarrow {a^n}|{b^n}\)
عدد طبیعی \(p\rangle 1\) را اول گوییم. هرگاه غير از 1 و خودش هيچ مقسوم عليه مثبتی نداشته باشد. بنابراين، اگر p عددی اول باشد:
\(a|p \Rightarrow a = \pm 1,a = \pm p\)
ساير اعداد طبيعی بزرگ تر از يک را (مركب) گوييم. بنابراين:
عدد ١ نه اول است و نه مركب.
در ادامه ويژگی های اصلی شمارش، دليل هر کدام و برخی کاربردهای آنها را ببينيد.
1) اگر a عدد b را عاد کند، aهر مضربd از b را نيز عاد می کند؛ يعنی برای هر عدد صحيح m :
\(a|b \Rightarrow a|bm\)
برای نمونه؛
\(5|10 \Rightarrow 5|20,5| - 10,5|50,...\)
2) شمارش، خاصيت تعدی دارد. يعنی اگر a بر b و b بر c بخش پذير باشد، آنگاه:a بر c بخش پذير است.
با صورت نمادين
\(c|b \wedge b|a \Rightarrow c|a\)
برای نمونه؛
از این که \(6|12\) و \(12|48\) می توان نتیجه گرفت: \(6|48\)
برای عددهای صحيح a و b ، با توجه به تجزيه ی عبارت های \({a^n} \pm {b^n}\)
\(\begin{array}{l}{a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\{a^n} + {b^n} = (a + b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... - a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\end{array}\)
همواره رابطه ی \(a - b|{a^n} - {b^n}\) برقرار است.
3) اين ويژگی به صورت زير بيان می شود:
اگر دو عدد بر عددی بخش پذير باشند، آنگاه جمع و تفريق آنها هم بر آن عدد بخش پذير است.
با نماد رياضی:
\(a|b \wedge a|c \Rightarrow a|b \pm c\)
4) اگر داشته باشيم \(a|b\) و \(b \ne 0\) باشد، آنگاه \(\left| a \right| \le \left| b \right|\) به صورت نمادین:
\(a|b \wedge b \ne 0 \Rightarrow \left| a \right| \le \left| b \right|\)
به بیان ساده؛ يک عدد مثبت نمی تواند بر عددهای بزرگتر از خود بخش پذير باشد. زیرا:
طبق فرض، عدد \(k \in \mathbb{Z} - \{ 0\} \) هست که \(b = ak\) در نتیجه:
\(\left| b \right| = \left| a \right|\left| k \right| \to \left| k \right| \ge 1 \to \left| b \right| \ge \left| a \right|\)
مثال
1 نشان دهید مربع هر عدد فرد به صورت \(8K + 1\) است.
فرض کنید n عددی فرد باشد، پس؛ \(n = 2q + 1\) و خواهیم داشت:
\({n^2} = {\left( {2q + 1} \right)^2} = 4{q^2} + 4q + 1 = 4q\left( {q + 1} \right) + 1 \to q\left( {q + 1} \right) = 2k \to 8k + 1\)
بيان مهم ديگری از حکم اين مثال چنين است:
(باقی مانده ی تقسيم مربع هر عدد فرد بر 8 برابر 1 است.)
2 نشان دهید اگر k عددی زوج باشد، \({k^3} - 4k\) همواره مضرب 48 است.
می نویسیم \(k = 2n\) و طبق خاصیت گفته شده برای ضرب 3 عدد متوالی:
\({k^3} - 4k = {\left( {2n} \right)^3} - 4\left( {2n} \right) = 8{n^3} - 8n = 8n\left( {{n^2} - 1} \right) = 8n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \to n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) = 6q \to 8n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) = 48q\)
در تقسيم عدد صحيح a بر عدد طبيعی b ، اعداد صحيح و يكتای q و r وجود دارند که:
\(\begin{array}{l}a = bq + r\\0 \le r\langle b\end{array}\)
عددهای q و r به ترتيب (خارج قسمت) و (باقيمانده) تقسيم a بر b نام دارند.
در تقسيم a بر b همواره می توان:
خارج قسمت را توسط جزء صحيح \(q = \left[ {\frac{a}{b}} \right]\) و سپس؛ باقيمانده را از رابطه ی \(r = a - bq\) به دست آورد.
فرض کنید \(m\rangle 1\) عدد طبيعی ثابتی باشد. عدد صحيح دلخواه a را در نظر گرفته و آن را بر m تقسيم می کنيم:
\(\begin{array}{l}a = mk + r\\r = 0,1,2,...,m - 1\end{array}\)
می بينيد که می توان عددهای صحيح را بر حسب باقيمانده تقسيم بر m در يک مجموعه قرار داد.
اگر باقيمانده صفر باشد، عددها به صورت زير هستند:
\(a = mk,k \in \mathbb{Z}\)
مجموعه ی تمام اين نوع اعداد را با \({[0]_m}\) نشان می دهیم:
\({[0]_m} = \{ mk|k \in \mathbb{Z}\} \)
اگر باقيمانده ی تقسيم برابر 1 شود، عددها به اين صورت هستند:
\({[1]_m} = \{ mk + 1|k \in \mathbb{Z}\} \)
ساير عددهای صحيح نيز به يکی از صورت های زير خواهند بود:
\(\begin{array}{l}{[2]_m} = \{ mk + 2|k \in \mathbb{Z}\} \\{[3]_m} = \{ mk + 3|k \in \mathbb{Z}\} \\.\\.\\{[m - 1]_m} = \{ mk + m - 1|k \in \mathbb{Z}\} \end{array}\)
بنابراين:
با انتخاب عدد طبيعی m ، مجموعه ی \(\mathbb{Z}\) دقيقاً به تعداد m زير مجموعه افراز می شود:
\({[0]_m},{[1]_m},{[2]_m},...,{[m - 1]_m}\)
یعنی
هر عدد صحيح a بر حسب عدد طبيعی m به يكی از صورت های زير قابل نوشتن است:
\(mk,mk + 1,mk + 2,...,mk + m - 1\)
مثال
نشان دهيد برای عدد صحيح فرد a ، عدد \({a^4}\) به صورت \(16k + 1\) است.
می دانیم که كه مربع هر عدد فرد به صورت \(8k + 1\) ست، پس می توان نوشت:
\(a4 = {({a^2})^2} = {(8k + 1)^2} = 64{k^2} + 16k + 1 = 16(4{k^2} + k) + 1\)
ثابت کنيد اگر \(p \ge 5\) عددی اول باشد، آنگاه به يکی از دو صورت \(p = 4k + 1\) یا \(p = 4k + 3\) نوشته می شود.
عدد p در تقسيم بر 4 به يكی از چهار حالت زير است:
\(4k,4k + 1,4k + 2,4k + 3\)
در دو حالت زير،p اول نيست:
\(p = 4k:\)
چون p بر 2 بخش پذير است.
\(p = 4k + 2:\)
در اين صورت \(p = 2(2k + 1)\) بوده و باز هم بر 2 بخش پذير است.
در نتيجه:
p فقط می تواند به صورت \(4k + 1\) یا \(4k + 3\) باشد.
تهیه کننده: علیرضا نورالدّینی
